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小学升初一奥数题及答案

小学数学升初中奥数题及答案

求助的问题:小学数学升初中奥数题及答案。

如题,谁知道呀。

初一奥数题库(带答案)

求助的问题:初一奥数题库(带答案)。

初一奥赛自测题
自测题一
甲多开支100元,三年后负
债600元.求每人每年收入多少?
S的末四位数字的和是多少?

4.一个人以3千米/小时的速度上坡,以6千米/小时的速度下坡,行程12千米共用了3小时20分钟,试求上坡与下坡的路程.
5.求和

6.证明:质数p除以30所得的余数一定不是合数.

8.若两个整数x,y使x2+xy+y2能被9整除,证明:x和y能被3整除.
9.如图1-95所示.在四边形ABCD中,对角线AC,BD的中点为M,N,MN的延长线与AB边交于P点.求证:△PCD的面积等于四边形ABCD的面积的一半.

自测题二
1.已知3x2-x=1,求6x3+7x2-5x+2000的值.
2.某商店出售的一种商品,每天卖出100件,每件可获利4元,现在他们采用提高售价、减少进货量的办法增加利润,根据经验,这种商品每涨价1元,每天就少卖出10件.试问将每件商品提价多少元,才能获得最大利润?最大利润是多少元?
3.如图1-96所示.已知CB⊥AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,∠1+∠2=90°.求证:

DA⊥AB.
4.已知方程组

的解应为

一个学生解题时把c抄错了,因此得到的解为

求a2+b2+c2的值.
5.求方程|xy|-|2x|+|y|=4的整数解.
6.王平买了年利率7.11%的三年期和年利率为7.86%的五年期国库券共35000元,若三年期国库券到期后,把本息再连续存两个一年期的定期储蓄,五年后与五年期国库券的本息总和为47761元,问王平买三年期与五年期国库券各多少?(已知一年期定期储蓄年利率为5.22%)
7.对k,m的哪些值,方程组

至少有一组解?
8.求不定方程3x+4y+13z=57的整数解.
9.小王用5元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为20分、8分、3分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?
自测题三
1.解关于x的方程

2.解方程

其中a+b+c≠0.
3.求(8x3-6x2+4x-7)3(2x5-3)2的展开式中各项系数之和.
4.液态农药一桶,倒出8升后用水灌满,再倒出混合溶液4升,再用水灌满,这时农药的浓度为72%,求桶的容量.
5.满足[-1.77x]=-2x的自然数x共有几个?这里[x]表示不超过x的最大整数,例如[-5.6]=-6,[3]=3.
6.设P是△ABC内一点.求:P到△ABC三顶点的距离和与三角形周长之比的取值范围.
7.甲乙两人同时从东西两站相向步行,相会时,甲比乙多行24千米,甲经过9小时到东站,乙经过16小时到西站,求两站距离.
8.黑板上写着三个数,任意擦去其中一个,将它改写成其他两数的和减1,这样继续下去,最后得到19,1997,1999,问原来的三个数能否是2,2,2?
9.设有n个实数x1,x2,…,xn,其中每一个不是+1就是-1,且

求证:n是4的倍数.
自测题四
1.已知a,b,c,d都是正数,并且
a+d<a,c+d<b.
求证:ac+bd<ab.
2.已知甲种商品的原价是乙种商品原价的1.5倍.因市场变化,乙种商品提价的百分数是甲种商品降价的百分数的2倍.调价后,甲乙两种商品单价之和比原单价之和提高了2%,求乙种商品提价的百分数.
3.在锐角三角形ABC中,三个内角都是质数.求三角形的三个内角.
4.某工厂三年计划中,每年产量递增相同,若第三年比原计划多生产1000台,那么每年比上一年增长的百分数就相同,而且第三年的产量恰为原计划三年总产量的一半,求原计划每年各生产多少台?
z=|x+y|+|y+1|+|x-2y+4|,
求z的最大值与最小值.
8.从1到500的自然数中,有多少个数出现1或5?
9.从19,20,21,…,98这80个数中,选取两个不同的数,使它们的和为偶数的选法有多少种?
自测题五
1.一项任务,若每天超额2件,可提前计划3天完工,若每天超额4件,可提前5天完工,试求工作的件数和原计划完工所用的时间.
2.已知两列数
2,5,8,11,14,17,…,2+(200-1)×3,
5,9,13,17,21,25,…,5+(200-1)×4,
它们都有200项,问这两列数中相同的项数有多少项?
3.求x3-3px+2q能被x2+2ax+a2整除的条件.
4.证明不等式

5.若两个三角形有一个角对应相等.求证:这两个三角形的面积之比等于夹此角的两边乘积之比.
6.已知(x-1)2除多项式x4+ax3-3x2+bx+3所得的余式是x+1,试求a,b的值.
7.今有长度分别为1,2,3,…,9的线段各一条,可用多少种不同方法,从中选用若干条,使它们能围成一个正方形?
8.平面上有10条直线,其中4条是互相平行的.问:这10条直线最多能把平面分成多少部分?
9.边长为整数,周长为15的三角形有多少个?
自测题一
所以 x=5000(元).

所以S的末四位数字的和为1+9+9+5=24.
3.因为
时,a-b≥0,即a≥b.即当b≥a>0或b≤a<0时,等式成立.4.设上坡路程为x千米,下坡路程为y千米.依题意则


由②有 2x+y=20, ③
由①有y=12-x.将之代入③得
2x+12-x=20.
所以 x=8(千米),于是y=4(千米).
5.第n项为

所以
6.设p=30q+r,0≤r<30.因为p为质数,故r≠0,即0<r<30.假设r为合数,由于r<30,所以r的最小质约数只可能为2,3,5.再由p=30q+r知,当r的最小质约数为2,3,5时,p不是质数,矛盾.所以,r一定不是合数.
7.设

由①式得(2p-1)(2q-1)=mpq,即
(4-m)pq+1=2(p+q).
可知m<4.由①,m>0,且为整数,所以m=1,2,3.下面分别研究p,q.
(1)若m=1时,有

解得p=1,q=1,与已知不符,舍去.
(2)若m=2时,有

因为2p-1=2q或2q-1=2p都是不可能的,故m=2时无解.
(3)若m=3时,有

解之得

故 p+q=8.
8.因为x2+xy+y2=(x-y)2+3xy.由题设,9|(x2+xy+y2),所以3|(x2+xy+y2),从而3|(x-y)2.因为3是质数,故3|(x-y).进而9|(x-y)2.由上式又可知,9|3xy,故3|xy.所以3|x或3|y.若3|x,结合3(x-y),便得3|y;若3|y,同理可得,3|x.
9.连结AN,CN,如图1-103所示.因为N是BD的中点,所以
上述两式相加

另一方面,
S△PCD=S△CND+S△CNP+S△DNP.
因此只需证明
S△AND=S△CNP+S△DNP.
由于M,N分别为AC,BD的中点,所以
S△CNP=S△CPM-S△CMN
=S△APM-S△AMN
=S△ANP.
又S△DNP=S△BNP,所以
S△CNP+S△DNP=S△ANP+S△BNP=S△ANB=S△AND.
自测题二
1.原式=2x(3x2-x)+3(3x2-x)-2x+2000
=2x×1+3×1-2x+2000
=2003.
2.原来每天可获利4×100元,若每件提价x元,则每件商品获利(4+x)元,但每天卖出为(100-10x)件.如果设每天获利为y元,则
y =(4+x)(100-10x)
=400+100x-40x-10x2
=-10(x2-6x+9)+90+400
=-10(x-3)2+490.
所以当x=3时,y最大=490元,即每件提价3元,每天获利最大,为490元.
3.因为CE平分∠BCD,DE平分∠ADC及∠1+∠2=90°(图1-104),所以
∠ADC+∠BCD=180°,
所以 AD‖BC.
又因为 AB⊥BC,
由①,②
AB⊥AD.

4.依题意有
所以 a2+b2+c2=34.
5.|x||y|-2|x|+|y|=4,即
|x|(|y|-2)+(|y|-2)=2,
所以
(|x|+1)(|y|-2)=2.
因为|x|+1>0,且x,y都是整数,所以

所以有

6.设王平买三年期和五年期国库券分别为x元和y元,则

因为 y=35000-x,
所以
x(1+0.0711×3)(1+0.0522)2
+(35000-x)(1+0.0786×5)=47761,
所以
1.3433x+48755-1.393x=47761,
所以 0.0497x=994,
所以 x=20000(元),
y=35000-20000=15000(元).
7.因为
(k-1)x=m-4, ①

m为一切实数时,方程组有唯一解.当k=1,m=4时,①的解为一切实数,所以方程组有无穷多组解.
当k=1,m≠4时,①无解.
所以,k≠1,m为任何实数,或k=1,m=4时,方程组至少有一组解.
8.由题设方程得

z=3m-y.
x=19-y-4(3m-y)-m
=19+3y-13m.
原方程的通解为

其中n,m取任意整数值.
9.设苹果、梨子、杏子分别买了x,y,z个,则

消去y,得12x-5z=180.它的解是
x=90-5t,z=180-12t.
代入原方程,得y=-230+17t.故
x=90-5t,y=-230+17t,z=180-12t.

x=20,y=8,z=12.
因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.
自测题三
1.化简得
6(a-1)x=3-6b+4ab,
当a≠1时,
2.将原方程变形为

由此可解得
x=a+b+c.
3.当x=1时,
(8-6+4-7)3(2-1)2=1.
即所求展开式中各项系数之和为1.

依题意得
去分母、化简得
7x2-300x+800=0,
即 (7x-20)(x-40)=0,
5.若n为整数,有[n+x]=n+[x],所以
[-1.77x]=[-2x+0.23x]
=-2x+[0.23x].
由已知[-1.77x]=-2x,所以
-2x=-2x+[0.23x],
所以 [0.23x]=0.
又因为x为自然数,所以0≤0.23x<1,经试验,可知x可取1,2,3,4,共4个.
6.如图1-105所示.在△PBC中有
BC<PB+PC, ①
延长BP交AC于D.易证
PB+PC<AB+AC. ②
由①,②
BC<PB+PC<AB+AC, ③
同理

AC<PA+PC<AC+BC, ④
AB<PA+PB<AC+AB. ⑤
③+④+⑤得
AB+BC+CA<2(PA+PB+PC)<2(AB+BC+CA).
所以

7.设甲步行速度为x千米/小时,乙步行速度为y千米/小时,则所求距离为(9x+16y)千米.依题意得

由①得
16y2=9x2, ③
由②得16y=24+9x,将之代入③得

即 (24+9x)2=(12x)2.
解之得

于是

所以两站距离为
9×8+16×6=168(千米).
8.答案是否定的.对于2,2,2,首先变为2,2,3,其中两个偶数,一个奇数.以后无论改变多少次,总是两个偶数,一个奇数(数值可以改变,但奇偶性不变),所以,不可能变为19,1997,1999这三个奇数.


又因为

所以,k是偶数,从而n是4的倍数.
自测题四
1.由对称性,不妨设b≤a,则
ac+bd≤ac+ad=a(c+d)<ab.
2.设乙种商品原单价为x元,则甲种商品的原单价为1.5x元.设甲商品降价y%,则乙商品提价2y%.依题意有
1.5x(1-y%)+x(1+2y%)=(1.5x+x)(1+2%),
化简得
1.5-1.5y+1+2y=2.5×1.02.
所以y=0.1=10%,
所以甲种商品降价10%,乙种商品提价20%.
3.因为∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A,∠B,∠C中必有偶数.唯一的偶质数为2,所以
∠C=2°.
所以
∠A+∠B=178°.
由于需∠A,∠B为奇质数,这样的解不唯一,如

4.设每年增产d千台,则这三年的每一年计划的千台数分别为a-d,a,a+d.依题意有

解之得

所以三年产量分别是4千台、6千台、8千台.

不等式组:
所以 x>2;
无解.

6.设原式为S,则

所以


<0.112-0.001=0.111.
因为
所以

=0.105
即为所求.
7.由|x|≤1,|y|≤1得
-1≤x≤1,-1≤y≤1.
所以
y+1≥0,
x-2y+4≥-1-2×1+4=1>0.
所以
z=|x+y|+(y+1)+(x-2y+4)
=|x+y|+x-y+5.
(1)当x+y+≤0时,
z=-(x+y)+x-y+5=5-2y.
由-1≤y≤1可推得3≤5-2y≤7,所以这时,z的最小值为3、最大值为7.
(2)当x+y>0时,
z=(x+y)+(x-y+5)=2x+5.
由-1≤x≤1及可推得3≤2x+5≤7,所以这时z的最小值为3、最大值为7.
由(1),(2)知,z的最小值为3,最大值为7.
8.百位上数字只是1的数有100,101,…,199共100个数;十位上数字是1或5的(其百位上不为1)有
2×3×10=60(个).
个位上出现1或5的(其百位和十位上都不是1或5)有
2×3×8=48(个).
再加上500这个数,所以,满足题意的数共有
100+60+48+1=209(个).
9.从19到98共计80个不同的整数,其中有40个奇数,40个偶数.第一个数可以任选,有80种选法.第一个数如果是偶数,第二个数只能在其他的39个偶数中选取,有39种选法.同理,第一个数如果是奇数,第二个数也有39种选法,但第一个数为a,第二个为b与第一个为b,第二个为a是同一种选法,所以总的选法应该折半,即共有

种选法.
自测题五
1.设每天计划完成x件,计划完工用的时间为y天,则总件数为xy件.依题意得
解之得

总件数
xy=8×15=120(件),
即计划用15天完工,工作的件数为120件.
2.第一列数中第n项表示为2+(n-1)×3,第二列数中第m项表示为5+(m-1)×4.要使
2+(n-1)×3=5+(m-1)×4.
所以

因为1≤n≤200,所以
所以 m=1,4,7,10,…,148共50项.
3.

x3-3px+2q被x2+2ax+a2除的余式为
3(a2-p)x+2(q+a3),
所以所求的条件应为

4.令

因为

所以
5.如图1-106(a),(b)所示.△ABC与△FDE中,

∠A=∠D.现将△DEF移至△ABC中,使∠A与∠D重合,DE=AE’,DF=AF’,连结F’B.此时,△AE’F’的面积等于三角形DEF的面积.

①×②得

6.不妨设商式为x2+α•x+β.由已知有
x4+ax3-3x2+bx+3
=(x-1)2(x2+α•x+β)+(x+1)
=(x2-2x+1)(x2+α• x+β)+x+1
=x4+(α-2)x3+(1-2α+β)x2
+(1+α-2β)x+β+1.
比较等号两端同次项的系数,应该有

只须解出

所以a=1,b=0即为所求.
7.因为

所以正方形的边长≤11.
下面按正方形边的长度分类枚举:
(1)边长为11:
9+2=8+3=7+4=6+5,
可得1种选法.
(2)边长为10:
9+1=8+2=7+3=6+4,
可得1种选法.
(3)边长为9:
9=8+1=7+2=6+3=5+4,
可得5种选法.
(4)边长为8:
8=7+1=6+2=5+3,
可得1种选法.
(5)边长为7:
7=6+1=5+2=4+3,
可得1种选法.
(6)边长≤6时,无法选择.
综上所述,共有
1+1+5+1+1=9
种选法组成正方形.
8.先看6条不平行的直线,它们最多将平面分成
2+2+3+4+5+6=22个部分.
现在加入平行线.加入第1条平行线,它与前面的6条直线最多有6个交点,它被分成7段,每一段将原来的部分一分为二,故增加了7个部分.加入第2,第3和第4条平行线也是如此,即每加入一条平行线,最多增加7个部分.因此,这些直最多将平面分成
22+7×4=50
个部分.
9.不妨设三角形的三边长a,b,c满足a≥b≥c.由b+c>a,a+b+c=15,a≥b≥c可得,15=a+(b+c)>2a,所以a≤7.又15=a+b+c≤3a,故a≥5.于是a=5,6,7.当a=5时,b+c=10,故b=c=5;当a=b时,b+c=9.于是b=6,c=3,或b=5,c=4;当a=7时,b+c=8,于是b=7,c=1,或b=6,c=2,或b=5,c=3,或b=4,c=4.
所以,满足题意的三角形共有7个.

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更新时间:2021-06-15 06:15:49
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